アニメーションで見る線形代数

行列は写像だ

行列は単なる「数字の表」ではありません。 m×n 行列 A には、n 次元空間から m 次元空間への写像という意味があります。 この写像を観察するアニメーションプログラム（2 次元空間から 2 次元空間の場合）の使い方をまとめます。

このアニメーションプログラムは、 書籍 『プログラミングのための線形代数』のためのコンテンツです。詳しくは書籍を参照してください。

• アニメーションプログラムの使い方
• やってみよう
  • こてしらべ：対角行列の観察
  • 固有値・固有ベクトルと対角化の観察
  • ランクと正則性の観察
• もっと自由に試すには
• 仕組み

アニメーションプログラムの使い方

• Ruby と Gnuplot が 使えることを確認。
• mat_anim.rb を カレントディレクトリに置く。
• 書籍中で指示されたコマンドを入力。例えば

  ruby mat_anim.rb | gnuplot
  

• Enter キーでもう一度くりかえし。q を入力すれば終了。
• 表示が速すぎたり遅すぎたりしたら、

  ruby mat_anim.rb -frame=20 | gnuplot
  

  などとして調整できます。数字が大きいほど滑らかで遅い描画になります。

やってみよう

指定された 2×2 行列 A に対して、写像 y = A x を図示します。 元の各点 x がこの写像でどこに移るかをアニメーション。

観察ポイント：

• 原点は原点のまま
• 直線は直線に移る
• 平行線は平行線に移る

こてしらべ：対角行列の観察

■ まずは典型的な対角行列（本書 viii, 40, 66 ページ）

コマンド：

ruby mat_anim.rb -s=0 | gnuplot

観察ポイント：

• 縦横に伸縮。
• 横方向は拡大（1.5倍）、縦方向は縮小（0.5倍）。
• 各升目の面積は、1.5 * 0.5 = 0.75 倍になる。 この面積拡大率 0.75 が det A 。 だから、対角行列の行列式＝対角成分の積。

■ 対角成分に0があると……（本書 ix, 41 ページ）

コマンド：

ruby mat_anim.rb -s=1 | gnuplot  

観察ポイント：

• 横が 0 倍 → ぺっちゃんこ。
• 面積拡大率 det B = 0

■ さらにマイナスまでいくと……（本書 x, 41 ページ）

コマンド：

ruby mat_anim.rb -s=2 | gnuplot  

観察ポイント：

• 縦が -0.5 倍 → 裏返し
• こういうときが det C < 0

固有値・固有ベクトルと対角化の観察

■ 対角じゃない一般の行列だと、こんなふうに歪みます（本書 xi, 26, 55, 67, 117, 348 ページ）

コマンド：

ruby mat_anim.rb -s=3 | gnuplot  

観察ポイント：

• 歪む。
• それでも「曲がる」わけじゃなく、直線は直線、平行は平行のまま。
• D の 1 列目が (1,0)^T の行き先、2 列目が (0,1)^T の行き先 （^T は「転置」。縦ベクトルにするということ）。 この 2 つを知れば、全体の移り具合も見当がつく。

■ 固有ベクトルを描くと……（本書 xii, 41, 210, 214 ページ）

コマンド：

ruby mat_anim.rb -s=4 | gnuplot 

観察ポイント：

• 赤い矢印は伸び縮みするけど、方向は変わらない。こういうのが固有ベクトル。
• 伸縮率が固有値。伸びてるほうは固有値 1.3、縮んでるほうは固有値 0.3

■ 固有ベクトルの方向に斜交座標をとると……（本書 xiii, 55, 211 ページ）

コマンド：

ruby mat_anim.rb -s=5 | gnuplot

観察ポイント：

• 座標軸方向にそった伸縮だけになる。
• つまり、こういううまい座標をとれば、 対角行列のときと同じような状況にできる。 これが対角化ってこと。
• 各升目の面積は、1.3 * 0.3 = 0.39 倍。 だから面積拡大率 det D = 0.39 = すべての固有値の積。

ランクと正則性の観察

■ 行列によっては、空間がぺちゃんこにつぶされることもあります（本書 xiv, 44, 117 ページ）

コマンド：

ruby mat_anim.rb -s=6 | gnuplot 

観察ポイント：

• 移った先はぺっちゃんこ（一直線）。この直線が E の像（Im A）。
• 移った先（Im E）の次元数をランクという。 この例では直線だから1次元（rank E = 1）。
• つぶれるってことは、移った先の次元が元より減るってこと（rank E < 2）。 こういうのが特異行列。 もしつぶれなければ rank E = 2 のはずで、そういうのが正則行列。
• つぶれてるんだから、面積拡大率 det E = 0
• (1,0)^T の移り先（E の 1 列目）と (0,1)^T の移り先（E の 2 列目）が、 独立な方向じゃなくなっている。

■ 固有ベクトルを描くと……（本書 xv, xvi ページ）

コマンド：

ruby mat_anim.rb -s=7 | gnuplot

観察ポイント：

• つぶれる＝固有値 0

■ 固有ベクトルの方向に斜行座標をとると……（本書 xvi ページ）

コマンド：

ruby mat_anim.rb -s=8 | gnuplot 

観察ポイント：

• 固有値0の固有ベクトル v にそった直線上の点は、みんな原点に移ってしまう。 この直線が E の核（Ker E）。
• 他についても、v と平行な直線上の点はみんな一点に移ってしまう。
• ってことは、移り先を聞いても、 元がどこだったかは特定できない。 逆行列が存在しないというのは、こういうこと。
• 元の次元数（平面だから 2 次元） - つぶれた次元数（Ker E は直線だから 1 次元） = 残った次元数（Im E も直線だから 1 次元）
  これが次元定理。

行列式の交代性の観察

■ 行列 D の列を入れ替えると……（本書 xvii ページ）

コマンド：

ruby mat_anim.rb -s=9 | gnuplot

観察ポイント：

• 裏返しになる。こんなとき面積拡大率 det F < 0
• 行列 D と比べると、枠の平行四辺形は同じだが、中身が裏返し。
  だから、det D = - det F
  行列式の交代性とはこういうこと

もっと自由に試すには

• 行列を指定する

  
  # -s=3 と同じ
  ruby mat_anim.rb -a=1,-0.3,-0.7,0.6 | gnuplot
        

• 矢印も指定する

  # -s=4 と同じ
  ruby mat_anim.rb -a=1,-0.3,-0.7,0.6 -arrow=0.3,0.7,0.5,-0.5 | gnuplot
        

• 斜交座標を描く

  # -s=5 と同じ
  ruby mat_anim.rb -a=1,-0.3,-0.7,0.6 -xunit=0.3,0.7 -yunit=0.5,-0.5 -figure= | gnuplot
        

仕組み

gnuplot のコマンドを ruby で生成して標準出力に吐き、 パイプ経由で送りつけてるだけ。 以下のようにすれば動作を垣間見ることができます。

ruby mat_anim.rb -batch