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アートを生み出す七つの数学

アートを生み出す七つの数学

  • 著者牟田 淳
  • 定価2,160円 (本体2,000円+税)
  • 判型A5
  • 244頁
  • ISBN978-4-274-06906-2
  • 発売日2013/01/26
  • 発行元オーム社

解から描かれる形を視覚的に感じながら数学を学ぼう!

本書は無限や微分方程式の解から描かれる形を、視覚的に感じながら数学を学ぶ書籍です。微分方程式は大学初学年でいくつかの解析解パターンを学びますが、なかなか直感的に理解しにくい面があります。また、計算もたいへん複雑で、単なる円運動も運動方程式をきちんと変形して解こうとすると、極座標に変換するうえで煩雑な計算がたくさん出てきます。そのため、解析的な解は重要ではあるけれど、計算が大変という難点があります。そこで、本書では微分方程式の解で描かれたアート作品とからめて数値的、視覚的に見せていき、直感で理解できるように解説していきます。
はじめに
第1章 数列で無限の世界を描こう
1.1 無限をどう描く?
1.2 アキレスと亀のパラドックスから無限を学ぶ
1.3 有限の中に無限を描く方法
1.4 無限を扱う方法は?
1.5 自然対数の底(ネイピア数)e
≪参考≫ 指数と対数
第2章 拡大すると同じ形が現れる無限、フラクタルを描こう
2.1 拡大すると同じ形が現われる世界
2.2 私たちの身近に見られるフラクタル
2.3 フラクタルな図形の作り方
2.4 フラクタル次元とは?
第3章 複素数の世界の無限を描こう
3.1 どこまでも同じ形、マンデルブロー集合
3.2 想像上の数? 虚数(Imaginary number)
3.3 掛け算すると回って大きくなる数、複素数
≪参考≫ 極表示とオイラーの公式
3.4 複素数で描く対数螺旋、円、直線
3.5 無限と原点の入れ替え方 ─反転─
3.6 マンデルブロー集合の作り方
3.7 複素数と量子論
第4章 地球と宇宙の果てから考える幾何学の無限
4.1 宇宙の果てを解き明かす3つの幾何学
4.2 曲率0のユークリッド幾何学
COLUMN・ビッグバンと宇宙の果て
4.3 曲率が正の球面幾何学
≪参考≫ 三角形の内角の和が 180°よりも大きくなるわけ
≪参考≫ 三平方の定理が成り立たないわけ
4.4 曲率が負の双曲幾何学
4.5 エッシャー「円の極限IV」と曲率負の宇宙
COLUMN・幾何学と計量(距離)
≪参考≫ 円盤モデルを使ったエッシャー風無限の絵の作り方
第5章 微分方程式でカオスを描こう
5.1 微分方程式を使ったコンピュータ・グラフィックス
5.2 身のまわりの自然や数学に潜む微分を探してみよう
5.3 自然は微分方程式でできている
5.4 微分方程式を解く直感的方法
≪参考≫ 解析的な解き方
5.5 2階微分方程式の解き方
5.6 微分方程式を使ったコンピュータ・グラフィックスの作り方
5.7 境界条件を用いた微分方程式の解法
第6章 最小・最適を好む自然の形
6.1 自然が好む形とは?
6.2 シャボン玉や水玉が球形をしているわけ
6.3 光はどうして屈折するの? ─最小時間の原理─
6.4 自然の世界に六角形の形が見られるわけは?
6.5 植物の枝分かれは効率的な形
6.6 雪の結晶の形はどのようにしてできる?
6.7 自然は最小を好む?
第7章 自然の形が描く対称性
7.1 自然は対称性の形であふれている
7.2 アートや自然の世界で見られる対称性
7.3 数学の世界の対称性
7.4 クォークの発見
7.5 自然科学で対称性が重要なわけ
参考文献
索引