内容紹介
これ1冊で、暗号理論、因数分解、グレブナー基底がわかる
代数学は数学の多くの分野の基盤であり、数々の数学的現象を統一的に理解する枠組みを提供します。
本書は、初学者から上級者までの幅広い読者に向けて、代数学を基礎から応用に至るまで体系的に学べるよう構成したものです。
偉大な先人が発見した美しい定理を現代的観点から再構築し、厳密な証明とともに解説します。
〈ポイント〉
●多項式の因数分解に関する実践的な手法を解説
●グレブナー基底の理論と応用に関して解説
●章末には、内容理解の演習問題と、発展的な内容を含む研究課題を掲載
このような方におすすめ
◎理学系，情報科学系で数学を学ぶ大学生
◯暗号理論や数式処理を扱う学生・社会人
◯数学を学んだり楽しむさまざまな方
目次
主要目次
第1章 集合、写像、関係
第2章 半群、モノイド、群
第3章 環、整域、体
第4章 ユークリッド整域、素元分解
第5章 整数環
第6章 多項式環
第7章 多項式の因数分解
第8章 グレブナー基底
詳細目次
はじめに
目次
第1章 集合、写像、関係
1.1 集合
1.2 自然数の集合
1.3 集合演算
1.4 ベキ集合、直積集合
1.5 写像
1.6 関係、同値関係、同値類
演習問題
研究課題
第2章 半群、モノイド、群
2.1 マグマ、半群、モノイド
2.2 群
2.3 部分群と剰余類
2.4 正規部分群と剰余群
演習問題
研究課題
第3章 環、整域、体
3.1 環
3.2 イデアル、剰余環
3.3 商体
演習問題
研究課題
第4章 ユークリッド整域、素元分解
4.1 約元、倍元
4.2 ユークリッド整域
4.3 素元分解定理
演習問題
研究課題
第5章 整数環
5.1 除法の定理、素因数分解
5.2 整数の剰余環
5.3 RSA暗号
5.4 ガウスの整数環
演習問題
研究課題
第6章 多項式環
6.1 多項式
6.2 ガウスの素元分解定理
6.3 多項式の根
6.4 原始根
6.5 離散対数問題と暗号
演習問題
研究課題
第7章 多項式の因数分解
7.1 導関数と平方因子
7.2 無平方分解
7.3 ZとZ_p上の既約多項式
7.4 Berlekamp法
7.5 Hensel構成
演習問題
研究課題
第8章 グレブナー基底
8.1 整列順序、項順序、Dickson の補題
8.2 多項式の簡約化
8.3 S-多項式
8.4 グレブナー基底
8.5 Buchbergerのアルゴリズム
8.6 極大イデアル
8.7 代数多様体
演習問題
研究課題
略解またはヒント
おわりに
索引
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